Questão 167 do Enem 2017: a altura da calota cortada do melão

Enem 2017 · 2º dia · caderno azul · Matemática · Geometria espacial

Nos outros cadernos: amarelo 180 · rosa 171 · cinza 176

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C 1

Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe de cozinha usará um melão esférico com diâmetro medindo 10 cm, o qual servirá de suporte para espetar diversos doces. Ele irá retirar uma calota esférica do melão, conforme ilustra a figura, e, para garantir a estabilidade deste suporte, dificultando que o melão role sobre a mesa, o chefe fará o corte de modo que o raio r da seção circular de corte seja de pelo menos 3 cm. Por outro lado, o chefe desejará dispor da maior área possível da região em que serão afixados os doces.

Esfera de centro O cortada por um plano a uma altura h do fundo; a seção tem centro A e raio r = AB

Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá cortar a calota do melão numa altura h, em centímetro, igual a

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Resolução comentada

O que a questão pede

A altura da calota a retirar.

O equilíbrio entre os objetivos

Quanto maior a calota cortada, maior o raio $r$ da base (mais estável).
Quanto menor a calota, mais superfície sobra para os doces.

Então corta-se o mínimo que dá $r = 3$ cm.

A distância ao centro

Raio do melão: 5 cm. No triângulo OAB, retângulo em A:

OA = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4 \text{ cm}

A altura da calota

h = 5 - 4 = 1 \text{ cm}

Alternativa C.

C Gabarito: alternativa C

Por que as outras alternativas estão erradas

A
Usa um raio de seção que não é 3 cm. (20,1% marcaram)
B
Usa um raio de seção que não é 3 cm. (20,5% marcaram)
D
Foi a mais marcada. É a distância do centro O ao plano de corte, não a altura da calota. (27,8% marcaram)
E
Corta o melão ao meio, perdendo metade da superfície. (15,2% marcaram)

Raio-X da questão

Dados oficiais dos microdados do Inep: respostas de 4.435.081 candidatos que fizeram a prova.

Dificuldade pela TRIMédiaParâmetro B: 634 pontosFácil abaixo de 600, média de 600 a 700, difícil a partir de 700. É a 39ª mais difícil de 45 questões válidas desta prova. O parâmetro B, na escala de notas do Enem (500 + 100 · b), é a nota em que o candidato passa a ter mais chance de acertar a questão do que de errar, sem contar o chute.

Acertaram16%dos candidatos marcaram a C

Habilidade 12 · Competência 3Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.

Como os candidatos responderam

A20,1%
B20,5%
C16% ✓ gabarito
D27,8% mais marcada
E15,2%

Em branco: 0,3% · Mais de uma marcada: 0,1%

Quanto acertaram, por nota em Matemática

abaixo de 50014,9%
500 a 60014,8%
600 a 70016%
700 ou mais30,4%

Quando o acerto sobe muito de uma faixa para a outra, a questão separa bem quem domina o conteúdo de quem não domina. Na TRI, isso é o parâmetro de discriminação.

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