Questão 165 do Enem 2012 PPL: o raio da caneca que substitui os copos

Enem 2012 PPL · 2º dia · caderno cinza · Matemática · Geometria espacial

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C 12,160 cm.

Nas empresas em geral, são utilizados dois tipos de copos plásticos descartáveis, ambos com a forma de troncos de cones circulares retos:

copos pequenos, para a ingestão de café: raios das bases iguais a 2,4 cm e 1,8 cm e altura igual a 3,6 cm;
copos grandes, para a ingestão de água: raios das bases iguais a 3,6 cm e 2,4 cm e altura igual a 8,0 cm.

Uma dessas empresas resolve substituir os dois modelos de copos descartáveis, fornecendo para cada um de seus funcionários canecas com a forma de um cilindro circular reto de altura igual a 6 cm e raio da base de comprimento igual a y centímetros. Tais canecas serão usadas tanto para beber café como para beber água.

Sabe-se que o volume de um tronco de cone circular reto, cujos raios das bases são respectivamente iguais a R e r e a altura é h, é dado pela expressão:

$V_{\text{tronco de cone}} = \frac{\pi h}{3}\,(R^2 + r^2 + Rr)$

O raio y da base dessas canecas deve ser tal que y² seja, no mínimo, igual a

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Resolução comentada

O que a questão pede

O menor $y^2$ para a caneca comportar o maior dos dois copos.

O volume do copo grande

V = \frac{\pi \cdot 8}{3}\,(3{,}6^2 + 2{,}4^2 + 3{,}6 \cdot 2{,}4) = \frac{8\pi}{3}\,(12{,}96 + 5{,}76 + 8{,}64) = \frac{8\pi}{3} \cdot 27{,}36 = 72{,}96\pi \text{ cm}^3

O copo pequeno tem $\frac{3{,}6\pi}{3}(5{,}76 + 3{,}24 + 4{,}32) = 15{,}984\pi$ cm³, bem menos. Quem decide é o grande.

A caneca

\pi y^2 \cdot 6 \geq 72{,}96\pi \quad\Rightarrow\quad y^2 \geq \frac{72{,}96}{6} = 12{,}16

Alternativa C.

C Gabarito: alternativa C

Por que as outras alternativas estão erradas

A
Usa o volume do copo pequeno (de café), que é menor. (16,5% marcaram)
B
Foi a errada mais marcada. Faz a média dos dois copos. (23,1% marcaram)
D
Soma o volume dos dois copos, como se a caneca precisasse comportar os dois juntos. (18,4% marcaram)
E
Erra a conta do volume do copo grande. (13,4% marcaram)

Raio-X da questão

Dados oficiais dos microdados do Inep: respostas de 425 candidatos que fizeram a prova.

Esta aplicação teve poucos candidatos, então as porcentagens oscilam mais do que na prova regular.

Dificuldade pela TRIDifícilParâmetro B: 790 pontosFácil abaixo de 600, média de 600 a 700, difícil a partir de 700. É a 1ª mais difícil de 45 questões válidas desta prova. O parâmetro B, na escala de notas do Enem (500 + 100 · b), é a nota em que o candidato passa a ter mais chance de acertar a questão do que de errar, sem contar o chute.

Acertaram27,1%dos candidatos marcaram a C

Habilidade 22 · Competência 5Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.

Como os candidatos responderam

A16,5%
B23,1%
C27,1% ✓ gabarito
D18,4%
E13,4%

Em branco: 1,6% · Mais de uma marcada: 0%

Quanto acertaram, por nota em Matemática

abaixo de 50024,4%
500 a 60028,8%
600 a 70048,4%
700 ou mais50%

Quando o acerto sobe muito de uma faixa para a outra, a questão separa bem quem domina o conteúdo de quem não domina. Na TRI, isso é o parâmetro de discriminação.

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