Questão 168 do Enem 2010: a altura do champanhe na taça em cone

Enem 2010 · 2º dia · caderno azul · Matemática · Geometria espacial

Nos outros cadernos: rosa 167 · amarelo 168 · cinza 167

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B 6,00.

Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual.

Figura 1: taça em meia esfera de raio 3 cm. Figura 2: taça em cone de raio 3 cm e altura h

Considere:

$V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi R^3 \qquad V_{\text{cone}} = \frac{1}{3}\pi R^2 h$

Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de

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Resolução comentada

O que a questão pede

A altura do champanhe no cone com o mesmo volume do hemisfério cheio.

O volume do hemisfério

Metade da esfera de raio 3:

\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 18\pi \text{ cm}^3

A altura no cone

\frac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot h = 3\pi h = 18\pi \quad\Rightarrow\quad h = 6 \text{ cm}

Alternativa B.

B Gabarito: alternativa B

Por que as outras alternativas estão erradas

A
Divide em vez de multiplicar em algum passo. (22,4% marcaram)
C
Foi a errada mais marcada. Usa a esfera inteira em vez do hemisfério. (26% marcaram)
D
Responde com o volume do hemisfério (18π ≈ 56,52), não com a altura. (13% marcaram)
E
Responde com o volume da esfera inteira (36π ≈ 113,04). (6% marcaram)

Raio-X da questão

Dados oficiais dos microdados do Inep: respostas de 3.247.403 candidatos que fizeram a prova.

Dificuldade pela TRIDifícilParâmetro B: 829 pontosFácil abaixo de 600, média de 600 a 700, difícil a partir de 700. É a 3ª mais difícil de 42 questões válidas desta prova. O parâmetro B, na escala de notas do Enem (500 + 100 · b), é a nota em que o candidato passa a ter mais chance de acertar a questão do que de errar, sem contar o chute.

Acertaram32%dos candidatos marcaram a B

Habilidade 8 · Competência 2Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.

Como os candidatos responderam

A22,4%
B32% ✓ gabarito
C26%
D13%
E6%

Em branco: 0,4% · Mais de uma marcada: 0,2%

Quanto acertaram, por nota em Matemática

abaixo de 50029,1%
500 a 60033%
600 a 70036,3%
700 ou mais42,4%

Quando o acerto sobe muito de uma faixa para a outra, a questão separa bem quem domina o conteúdo de quem não domina. Na TRI, isso é o parâmetro de discriminação.

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