Questão 171 do Enem 2024: a forma do jardim com maior área

Enem 2024 · 2º dia · caderno azul · Matemática · Geometria plana

Nos outros cadernos: amarelo 147 · verde 169 · cinza 144 · roxa 169

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A hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será $\dfrac{k^2\sqrt{3}}{24}$ .

Um jardineiro dispõe de $k$ metros lineares de cerca baixa para fazer um jardim ornamental. O jardim, delimitado por essa cerca, deve ter a forma de um triângulo equilátero, um quadrado ou um hexágono regular. A escolha será pela forma que resulte na maior área.

O jardineiro escolherá a forma de

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Resolução comentada

O que a questão pede

Qual das três formas, com o mesmo perímetro $k$ , tem a maior área.

As áreas

Triângulo equilátero, lado $\frac{k}{3}$ :

\frac{\left(\frac{k}{3}\right)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{k^2\sqrt{3}}{36} \approx 0{,}048k^2

Quadrado, lado $\frac{k}{4}$ :

\left(\frac{k}{4}\right)^2 = \frac{k^2}{16} \approx 0{,}0625k^2

Hexágono regular, lado $\frac{k}{6}$ , formado por seis triângulos equiláteros:

6 \cdot \frac{\left(\frac{k}{6}\right)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{k^2\sqrt{3}}{24} \approx 0{,}072k^2

Comparando

O hexágono ganha. Com o mesmo perímetro, quanto mais lados o polígono regular tem, mais perto do círculo ele fica, e maior a área.

Alternativa A.

A Gabarito: alternativa A

Por que as outras alternativas estão erradas

B
Foi a mais marcada. É a área de um hexágono de lado k, mas o lado é k/6. (30,5% marcaram)
C
A área do quadrado está certa, mas é menor que a do hexágono. (19,9% marcaram)
D
A área do triângulo está certa, mas é a menor das três. (17,8% marcaram)
E
É a área de um triângulo de lado k, mas o lado é k/3. (15% marcaram)

Raio-X da questão

Dados oficiais dos microdados do Inep: respostas de 3.004.747 candidatos que fizeram a prova.

Dificuldade pela TRIDifícilParâmetro B: 787 pontosFácil abaixo de 600, média de 600 a 700, difícil a partir de 700. É a 4ª mais difícil de 45 questões válidas desta prova. O parâmetro B, na escala de notas do Enem (500 + 100 · b), é a nota em que o candidato passa a ter mais chance de acertar a questão do que de errar, sem contar o chute.

Acertaram16,4%dos candidatos marcaram a A

Habilidade 22 · Competência 5Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.

Como os candidatos responderam

A16,4% ✓ gabarito
B30,5% mais marcada
C19,9%
D17,8%
E15%

Em branco: 0,4% · Mais de uma marcada: 0,1%

Quanto acertaram, por nota em Matemática

abaixo de 50016,4%
500 a 60017,1%
600 a 70013,9%
700 ou mais19,5%

Quando o acerto sobe muito de uma faixa para a outra, a questão separa bem quem domina o conteúdo de quem não domina. Na TRI, isso é o parâmetro de discriminação.

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