Questão 164 do Enem 2020 PPL: o ângulo entre as largadas nas duas pistas

Enem 2020 PPL · 2º dia · caderno azul · Matemática · Trigonometria

Nos outros cadernos: amarelo 170 · rosa 171 · cinza 153

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C $\dfrac{1}{R_2} - \dfrac{1}{R_1}$

Dois atletas partem de pontos, respectivamente P₁ e P₂, em duas pistas planas distintas, conforme a figura, deslocando-se no sentido anti-horário até a linha de chegada, percorrendo, desta forma, a mesma distância (L). Os trechos retos dos finais das curvas até a linha de chegada desse percurso têm o mesmo comprimento (l) nas duas pistas e são tangentes aos trechos curvos, que são semicírculos de centro C. O raio do semicírculo maior é R₁ e o raio do semicírculo menor é R₂.

Duas pistas ovais concêntricas; P₁ na pista externa (raio R₁) e P₂ na interna (raio R₂), ambos na curva de centro C, e a linha de chegada na reta de baixo

Sabe-se que o comprimento de um arco circular é dado pelo produto do seu raio pelo ângulo, medido em radiano, subentendido pelo arco.

Nas condições apresentadas, a razão da medida do ângulo P₂ĈP₁ pela diferença L − l é dada por

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Resolução comentada

O que a questão pede

O ângulo entre P₁ e P₂ (vistos de C), dividido por $L - l$ .

O arco de cada atleta

Cada um percorre $L$ : um arco de curva mais o trecho reto $l$ . Então o arco mede $L - l$ nas duas pistas.

Com arco = raio × ângulo:

\theta_1 = \frac{L - l}{R_1} \qquad \theta_2 = \frac{L - l}{R_2}

Como $R_2 < R_1$ , o atleta de dentro precisa de um ângulo maior: $\theta_2 > \theta_1$ . Por isso P₂ larga “mais atrás” na curva.

O ângulo entre eles

\theta_2 - \theta_1 = (L - l)\left(\frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1}\right)

Dividindo por $L - l$ :

\frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1}

Alternativa C.

C Gabarito: alternativa C

Por que as outras alternativas estão erradas

A
Não vem de arco = raio × ângulo. (13,9% marcaram)
B
Inverte a ordem e dá um valor negativo, já que R₁ > R₂. (20,7% marcaram)
D
Foi a mais marcada. Não corresponde à diferença dos ângulos. (26% marcaram)
E
Soma os ângulos em vez de subtrair. (15,7% marcaram)

Raio-X da questão

Dados oficiais dos microdados do Inep: respostas de 62.306 candidatos que fizeram a prova.

Dificuldade pela TRIDifícilParâmetro B: 810 pontosFácil abaixo de 600, média de 600 a 700, difícil a partir de 700. É a 2ª mais difícil de 45 questões válidas desta prova. O parâmetro B, na escala de notas do Enem (500 + 100 · b), é a nota em que o candidato passa a ter mais chance de acertar a questão do que de errar, sem contar o chute.

Acertaram23,3%dos candidatos marcaram a C

Habilidade 15 · Competência 4Identificar a relação de dependência entre grandezas.

Como os candidatos responderam

A13,9%
B20,7%
C23,3% ✓ gabarito
D26% mais marcada
E15,7%

Em branco: 0,4% · Mais de uma marcada: 0,1%

Quanto acertaram, por nota em Matemática

abaixo de 50022,6%
500 a 60022,7%
600 a 70024,7%
700 ou mais31,7%

Quando o acerto sobe muito de uma faixa para a outra, a questão separa bem quem domina o conteúdo de quem não domina. Na TRI, isso é o parâmetro de discriminação.

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