Espaço da Física · Prof. Flávio

Questão 160 do Enem 2025: a função tangente que descreve a água no recipiente

Enem 2025 · 2º dia · caderno azul · Matemática · Trigonometria

Nos outros cadernos: amarelo 159 · verde 164 · cinza 155 · roxa 155

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E D = 30 + tg[½(T − 5/2)]

Um recipiente tem um formato que faz com que, ao ser enchido de água com uma vazão constante, a distância D da lâmina de água ao tampo da mesa, em centímetro, aumente em relação ao tempo T, em minuto, de acordo com uma função do tipo

D=k+tg[p(T+m)],D = k + \text{tg}[p(T + m)],

sendo os parâmetros k, p e m números reais, para T variando entre 0 e 4 minutos, conforme ilustrado na figura, na qual estão apresentadas assíntotas verticais da função tangente utilizada na definição de D.

Recipiente em forma de taça ao lado de um gráfico de D por T: curva de tangente entre as assíntotas T = (5 − 2π)/2 e T = (5 + 2π)/2, passando por T = 2,5 e D = 30; o trecho de T = 0 a T = 4 está destacado

A expressão algébrica que representa a relação entre D e T é

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Resolução comentada

O que a questão pede

Os valores de k, p e m da função.

p, pelo período

Duas assíntotas consecutivas da tangente estão a um período de distância:

5+2π2−5−2π2=2π\frac{5 + 2\pi}{2} - \frac{5 - 2\pi}{2} = 2\pi

O período de tg(pT) é π/p:

πp=2π⇒p=12\frac{\pi}{p} = 2\pi \quad\Rightarrow\quad p = \frac{1}{2}

m e k, pelo centro

A tangente “pura” passa pelo ponto central (onde o argumento é 0) entre as assíntotas: o ponto médio delas é T = 5/2, e ali a curva vale D = 30.

  • Argumento zero em T = 5/2: m = −5/2.
  • tg 0 = 0, então D = k = 30.
D=30+tg[12(T−52)]D = 30 + \text{tg}\left[\frac{1}{2}\left(T - \frac{5}{2}\right)\right]

Alternativa E.

E Gabarito: alternativa E

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A

    Troca os papéis de k e p, e desloca a curva para a assíntota. (21,6% marcaram)

  • B

    Usa k = 4 e p = 30: nem o centro nem o período batem. (18,7% marcaram)

  • C

    Foi a mais marcada. Desloca a curva para o lado errado e erra k. (30,9% marcaram)

  • D

    Acerta k e p, mas centraliza a curva em T = 5. (13,2% marcaram)

Raio-X da questão

Dados oficiais dos microdados do Inep: respostas de 3.197.465 candidatos que fizeram a prova.

Dificuldade pela TRIDifícilParâmetro B: 924 pontosFácil abaixo de 600, média de 600 a 700, difícil a partir de 700. É a 1ª mais difícil de 43 questões válidas desta prova. O parâmetro B, na escala de notas do Enem (500 + 100 · b), é a nota em que o candidato passa a ter mais chance de acertar a questão do que de errar, sem contar o chute.
Acertaram15%dos candidatos marcaram a E
Habilidade 19 · Competência 5Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
Como os candidatos responderam
  • A21,6%
  • B18,7%
  • C30,9% mais marcada
  • D13,2%
  • E15% ✓ gabarito

Em branco: 0,5% · Mais de uma marcada: 0,1%

Quanto acertaram, por nota em Matemática
  • abaixo de 50012,4%
  • 500 a 60016%
  • 600 a 70017,3%
  • 700 ou mais21,4%

Quando o acerto sobe muito de uma faixa para a outra, a questão separa bem quem domina o conteúdo de quem não domina. Na TRI, isso é o parâmetro de discriminação.

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