Questão 154 do Enem 2018: o menor tabuleiro para a chance ficar abaixo de 1/5

Enem 2018 · 2º dia · caderno azul · Matemática · Probabilidade e contagem

Nos outros cadernos: amarelo 180 · rosa 171 · cinza 154

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D 10 × 10.

Um designer de jogos planeja um jogo que faz uso de um tabuleiro de dimensão n × n, com n ≥ 2, no qual cada jogador, na sua vez, coloca uma peça sobre uma das casas vazias do tabuleiro. Quando uma peça é posicionada, a região formada pelas casas que estão na mesma linha ou coluna dessa peça é chamada de zona de combate dessa peça. Na figura está ilustrada a zona de combate de uma peça colocada em uma das casas de um tabuleiro de dimensão 8 × 8.

Tabuleiro 8 × 8 com uma peça e a sua linha e coluna destacadas

O tabuleiro deve ser dimensionado de forma que a probabilidade de se posicionar a segunda peça aleatoriamente, seguindo a regra do jogo, e esta ficar sobre a zona de combate da primeira, seja inferior a $\frac{1}{5}$ .

A dimensão mínima que o designer deve adotar para esse tabuleiro é

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Resolução comentada

O que a questão pede

O menor $n$ com chance menor que 1/5.

A chance

Depois da primeira peça, sobram $n^2 - 1$ casas. A zona de combate tem $n - 1$ casas na linha e $n - 1$ na coluna:

P = \frac{2(n-1)}{n^2 - 1} = \frac{2(n-1)}{(n-1)(n+1)} = \frac{2}{n+1}

A condição

\frac{2}{n+1} < \frac{1}{5} \quad\Rightarrow\quad n + 1 > 10 \quad\Rightarrow\quad n > 9

O menor é $n = 10$ .

Alternativa D.

D Gabarito: alternativa D

Por que as outras alternativas estão erradas

A
Chance de 2/5. (26,8% marcaram)
B
Foi a mais marcada. Chance de 2/7. (27,2% marcaram)
C
Chance de exatamente 1/5, e o enunciado pede menos. (19,6% marcaram)
E
Funciona, mas não é o mínimo. (8,2% marcaram)

Raio-X da questão

Dados oficiais dos microdados do Inep: respostas de 3.905.085 candidatos que fizeram a prova.

Dificuldade pela TRIDifícilParâmetro B: 844 pontosFácil abaixo de 600, média de 600 a 700, difícil a partir de 700. É a 8ª mais difícil de 44 questões válidas desta prova. O parâmetro B, na escala de notas do Enem (500 + 100 · b), é a nota em que o candidato passa a ter mais chance de acertar a questão do que de errar, sem contar o chute.

Acertaram17,8%dos candidatos marcaram a D

Habilidade 30 · Competência 7Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.

Como os candidatos responderam

A26,8%
B27,2% mais marcada
C19,6%
D17,8% ✓ gabarito
E8,2%

Em branco: 0,3% · Mais de uma marcada: 0,1%

Quanto acertaram, por nota em Matemática

abaixo de 50015,6%
500 a 60017,5%
600 a 70020%
700 ou mais25,8%

Quando o acerto sobe muito de uma faixa para a outra, a questão separa bem quem domina o conteúdo de quem não domina. Na TRI, isso é o parâmetro de discriminação.

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