Espaço da Física · Prof. Flávio

Questão 140 do Enem 2025 (COP30): quantos escudos dá para pintar com três cores

Enem 2025 COP30 (Belém) · 2º dia · caderno azul · Matemática · Probabilidade e contagem

Nos outros cadernos: amarelo 152 · verde 154 · cinza 148

Só quer conferir? Ver o gabarito

A I.

Para as olimpíadas internas de um colégio, foram formadas 16 equipes, cada uma identificada por um escudo. Cada escudo será dividido em 4 regiões distintas, conforme a Figura 1.

Figura 1: escudo dividido em quatro regiões por linhas que partem de um ponto central: uma região no alto, uma à direita e duas à esquerda, uma em cima da outra

Foram escolhidas três cores para colorir as regiões de todos os escudos. Em cada região, será utilizada uma única cor, e o escudo de cada equipe será colorido com até três dessas cores. Regiões com lado em comum não podem ter a mesma cor. Não pode haver duas equipes com uma mesma configuração de cores no escudo. A Figura 2 apresenta dois escudos possíveis.

Figura 2: dois escudos possíveis, um com verde no alto, rosa na esquerda de cima e na direita e azul na esquerda de baixo; outro com rosa no alto e na esquerda de baixo e azul na esquerda de cima e na direita

Cinco responsáveis pelas olimpíadas analisaram a viabilidade de se confeccionarem os escudos, e cada um formulou um argumento:

I. é viável, pois há 18 escudos possíveis;
II. é viável, pois há 72 escudos possíveis;
III. é viável, pois há 81 escudos possíveis;
IV. não é viável, pois há apenas 6 escudos possíveis;
V. não é viável, pois há apenas 12 escudos possíveis.

O argumento correto foi o

Tente antes de ler a resolução: toque numa alternativa.

Resolução comentada

O que a questão pede

Quantas pinturas diferentes existem e se elas bastam para 16 equipes.

Quem é vizinho de quem

Chame as regiões de Alto, Direita, Esquerda de cima e Esquerda de baixo. Seguindo os lados em comum:

Alto — Esquerda de cima — Esquerda de baixo — Direita — Alto

Elas formam uma roda: cada região tem exatamente duas vizinhas. O Alto e a Esquerda de baixo só se tocam no ponto central, então podem ter a mesma cor; o mesmo vale para a Esquerda de cima e a Direita.

Contando em dois casos

O jeito mais seguro é separar pelo par de regiões que não são vizinhas: Alto e Esquerda de baixo.

Caso 1: Alto e Esquerda de baixo com a mesma cor.

  • Cor dessas duas: 3 opções.
  • Esquerda de cima: diferente dessa cor, 2 opções.
  • Direita: também só precisa ser diferente dessa cor, 2 opções.
3×2×2=123 \times 2 \times 2 = 12

Caso 2: Alto e Esquerda de baixo com cores diferentes.

  • Alto: 3 opções. Esquerda de baixo: 2 opções.
  • Esquerda de cima e Direita encostam nas duas, então só sobra a terceira cor para cada uma: 1 opção.
3×2×1×1=63 \times 2 \times 1 \times 1 = 6

Total

12+6=18 escudos12 + 6 = 18 \text{ escudos}

Como 18 é maior que 16, dá para fazer um escudo diferente para cada equipe. O argumento certo é o I.

Alternativa A.

A Gabarito: alternativa A

Por que as outras alternativas estão erradas

  • B

    Conta mais pinturas do que existem; com a regra das vizinhas são só 18. (20,5% marcaram)

  • C

    81 = 3⁴ é pintar as quatro regiões livremente, sem a regra das vizinhas. (14,3% marcaram)

  • D

    6 é só o caso em que Alto e Esquerda de baixo têm cores diferentes; esquece os 12 em que elas repetem a cor. (20,3% marcaram)

  • E

    Foi a mais marcada. 12 é só o caso em que Alto e Esquerda de baixo têm a mesma cor; esquece os 6 em que elas são diferentes. (22,8% marcaram)

Raio-X da questão

Dados oficiais dos microdados do Inep: respostas de 62.206 candidatos que fizeram a prova.

Dificuldade pela TRIDifícilParâmetro B: 832 pontosFácil abaixo de 600, média de 600 a 700, difícil a partir de 700. É a 3ª mais difícil de 45 questões válidas desta prova. O parâmetro B, na escala de notas do Enem (500 + 100 · b), é a nota em que o candidato passa a ter mais chance de acertar a questão do que de errar, sem contar o chute.
Acertaram21,6%dos candidatos marcaram a A
Habilidade 4 · Competência 1Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
Como os candidatos responderam
  • A21,6% ✓ gabarito
  • B20,5%
  • C14,3%
  • D20,3%
  • E22,8% mais marcada

Em branco: 0,4% · Mais de uma marcada: 0,1%

Quanto acertaram, por nota em Matemática
  • abaixo de 50020,6%
  • 500 a 60021,7%
  • 600 a 70023,3%
  • 700 ou mais29,1%

Quando o acerto sobe muito de uma faixa para a outra, a questão separa bem quem domina o conteúdo de quem não domina. Na TRI, isso é o parâmetro de discriminação.

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