Para ganhar um prêmio, uma pessoa deverá retirar, sucessivamente e sem reposição, duas bolas pretas de uma mesma urna. Inicialmente, as quantidades e cores das bolas são como descritas a seguir: - Urna A – Possui três bolas brancas, duas bolas pretas e uma bola verde; - Urna B – Possui seis bolas brancas, três bolas pretas e uma bola verde; - Urna C – Possui duas bolas pretas e duas bolas verdes; - Urna D – Possui três bolas brancas e três bolas pretas. A pessoa deve escolher uma entre as cinco opções apresentadas: - Opção 1 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A; - Opção 2 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna B; - Opção 3 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna A; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A; - Opção 4 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna D para a urna C; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna C; - Opção 5 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna D; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna D. Com o objetivo de obter a maior probabilidade possível de ganhar o prêmio, a pessoa deve escolher a opção

Questão 150 do Enem 2018: a opção com maior chance de tirar duas pretas

Enem 2018 · 2º dia · caderno azul · Matemática · Probabilidade e contagem

Nos outros cadernos: amarelo 176 · rosa 156 · cinza 146

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E 5.

Para ganhar um prêmio, uma pessoa deverá retirar, sucessivamente e sem reposição, duas bolas pretas de uma mesma urna.

Inicialmente, as quantidades e cores das bolas são como descritas a seguir:

Urna A – Possui três bolas brancas, duas bolas pretas e uma bola verde;
Urna B – Possui seis bolas brancas, três bolas pretas e uma bola verde;
Urna C – Possui duas bolas pretas e duas bolas verdes;
Urna D – Possui três bolas brancas e três bolas pretas.

A pessoa deve escolher uma entre as cinco opções apresentadas:

Opção 1 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A;
Opção 2 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna B;
Opção 3 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna A; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A;
Opção 4 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna D para a urna C; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna C;
Opção 5 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna D; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna D.

Com o objetivo de obter a maior probabilidade possível de ganhar o prêmio, a pessoa deve escolher a opção

Tente antes de ler a resolução: toque numa alternativa.

Resolução comentada

O que a questão pede

A opção com a maior chance de tirar duas pretas.

Sem passar bola

Opção 1 (A: 2 pretas em 6): $\frac{2}{6} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{15}$ .
Opção 2 (B: 3 em 10): $\frac{3}{10} \cdot \frac{2}{9} = \frac{1}{15}$ .

Passando uma bola

Opção 3 (C → A): metade das vezes passa preta (A fica com 3 em 7), metade verde (2 em 7):

\frac{1}{2}\left(\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{6}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{2}{7} \cdot \frac{1}{6}\right) = \frac{1}{14} + \frac{1}{42} = \frac{2}{21} \approx 0{,}095

Opção 4 (D → C): preta (C com 3 em 5) ou branca (2 em 5):

\frac{1}{2}\left(\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4}\right) = \frac{3}{20} + \frac{1}{20} = \frac{1}{5} = 0{,}2

Opção 5 (C → D): preta (D com 4 em 7) ou verde (3 em 7):

\frac{1}{2}\left(\frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{6}\right) = \frac{1}{7} + \frac{1}{14} = \frac{3}{14} \approx 0{,}214

Alternativa E.

E Gabarito: alternativa E

Por que as outras alternativas estão erradas

A
Chance de 1/15. (9,6% marcaram)
B
Chance de 1/15. (13,8% marcaram)
C
Chance de 2/21. (14,8% marcaram)
D
Foi a errada mais marcada. Chance de 1/5, um pouco abaixo dos 3/14 da opção 5. (26,7% marcaram)

Raio-X da questão

Dados oficiais dos microdados do Inep: respostas de 3.905.085 candidatos que fizeram a prova.

Dificuldade pela TRIDifícilParâmetro B: 848 pontosFácil abaixo de 600, média de 600 a 700, difícil a partir de 700. É a 6ª mais difícil de 44 questões válidas desta prova. O parâmetro B, na escala de notas do Enem (500 + 100 · b), é a nota em que o candidato passa a ter mais chance de acertar a questão do que de errar, sem contar o chute.

Acertaram34,7%dos candidatos marcaram a E

Habilidade 29 · Competência 7Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.

Como os candidatos responderam

A9,6%
B13,8%
C14,8%
D26,7%
E34,7% ✓ gabarito

Em branco: 0,2% · Mais de uma marcada: 0,2%

Quanto acertaram, por nota em Matemática

abaixo de 50025,7%
500 a 60040,9%
600 a 70044,4%
700 ou mais38,4%

Quando o acerto sobe muito de uma faixa para a outra, a questão separa bem quem domina o conteúdo de quem não domina. Na TRI, isso é o parâmetro de discriminação.

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