Espaço da Física · Prof. Flávio

Questão 166 do Enem 2016: o menor tempo para construir a galeria

Enem 2016 · 2º dia · caderno azul · Matemática · Geometria analítica

Nos outros cadernos: amarelo 171 · rosa 177 · cinza 163

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B 2 520.

Em uma cidade será construída uma galeria subterrânea que receberá uma rede de canos para o transporte de água de uma fonte (F) até o reservatório de um novo bairro (B).

Após avaliações, foram apresentados dois projetos para o trajeto de construção da galeria: um segmento de reta que atravessaria outros bairros ou uma semicircunferência que contornaria esses bairros, conforme ilustrado no sistema de coordenadas xOy da figura, em que a unidade de medida nos eixos é o quilômetro.

Plano cartesiano em km: F = (−1; 1) e B = (1; −1) ligados por um segmento que passa pela origem e por uma semicircunferência de centro na origem

Estudos de viabilidade técnica mostraram que, pelas características do solo, a construção de 1 m de galeria via segmento de reta demora 1,0 h, enquanto que 1 m de construção de galeria via semicircunferência demora 0,6 h. Há urgência em disponibilizar água para esse bairro.

Use 3 como aproximação para π e 1,4 como aproximação para √2.

O menor tempo possível, em hora, para conclusão da construção da galeria, para atender às necessidades de água do bairro, é de

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Resolução comentada

O que a questão pede

O menor tempo entre os dois projetos.

A reta

FB=22+22=22≈2,8 km=2 800 m⇒2 800 hFB = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}8 \text{ km} = 2\,800 \text{ m} \quad\Rightarrow\quad 2\,800 \text{ h}

A semicircunferência

O raio é 2\sqrt{2} (distância da origem a F). Comprimento:

π2≈3×1,4=4,2 km=4 200 m⇒4 200×0,6=2 520 h\pi \sqrt{2} \approx 3 \times 1{,}4 = 4{,}2 \text{ km} = 4\,200 \text{ m} \quad\Rightarrow\quad 4\,200 \times 0{,}6 = 2\,520 \text{ h}

O caminho mais longo é o mais rápido de construir.

Alternativa B.

B Gabarito: alternativa B

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A

    Não corresponde a 4 200 × 0,6. (19,6% marcaram)

  • C

    Foi a errada mais marcada. É o tempo do segmento de reta, mais demorado. (24,5% marcaram)

  • D

    Não corresponde a 4 200 × 0,6. (19,5% marcaram)

  • E

    Não corresponde a 4 200 × 0,6. (8,9% marcaram)

Raio-X da questão

Dados oficiais dos microdados do Inep: respostas de 5.689.442 candidatos que fizeram a prova.

Dificuldade pela TRIDifícilParâmetro B: 765 pontosFácil abaixo de 600, média de 600 a 700, difícil a partir de 700. É a 10ª mais difícil de 45 questões válidas desta prova. O parâmetro B, na escala de notas do Enem (500 + 100 · b), é a nota em que o candidato passa a ter mais chance de acertar a questão do que de errar, sem contar o chute.
Acertaram26,8%dos candidatos marcaram a B
Habilidade 22 · Competência 5Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
Como os candidatos responderam
  • A19,6%
  • B26,8% ✓ gabarito
  • C24,5%
  • D19,5%
  • E8,9%

Em branco: 0,6% · Mais de uma marcada: 0,1%

Quanto acertaram, por nota em Matemática
  • abaixo de 50024,7%
  • 500 a 60027,5%
  • 600 a 70030,4%
  • 700 ou mais44,7%

Quando o acerto sobe muito de uma faixa para a outra, a questão separa bem quem domina o conteúdo de quem não domina. Na TRI, isso é o parâmetro de discriminação.

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