Espaço da Física · Prof. Flávio

Questão 176 do Enem 2022: o ponto de conexão com o menor caminho entre as cidades

Enem 2022 · 2º dia · caderno azul · Matemática · Geometria analítica

Nos outros cadernos: amarelo 145 · rosa 178 · cinza 139 · verde 139

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D IV

O governo de um estado pretende realizar uma obra de infraestrutura para auxiliar na integração e no processo de escoamento da produção agrícola de duas cidades. O projeto consiste na interligação direta das cidades A e B com a Rodovia 003, pela construção das Rodovias 001 e 002. As duas rodovias serão construídas em linha reta e deverão se conectar à Rodovia 003 em um mesmo ponto, conforme esboço apresentado na figura, na qual estão também indicadas as posições das cidades A e B, considerando o eixo xx posicionado sobre a Rodovia 003, e cinco localizações sugeridas para o ponto de conexão entre as três rodovias.

Plano com a Rodovia 003 sobre o eixo x. A Cidade A fica em (20, 40) e a Cidade B em (50, 20). Os cinco pontos sugeridos no eixo x são I em 20, II em 30, III em 35, IV em 40 e V em 50, com linhas ligando cada um às duas cidades

Pretende-se que a distância percorrida entre as duas cidades, pelas Rodovias 001 e 002, passando pelo ponto de conexão, seja a menor possível.

Dadas as exigências do projeto, qual das localizações sugeridas deve ser a escolhida para o ponto de conexão?

Tente antes de ler a resolução: toque numa alternativa.

Resolução comentada

O que a questão pede

O ponto do eixo xx que torna mínima a soma das distâncias até A e até B.

O truque da reflexão

Refletindo B no eixo xx, obtém-se B′=(50,−20)B' = (50, -20). Para qualquer ponto P do eixo, PB=PB′PB = PB'. Então AP+PB=AP+PB′AP + PB = AP + PB', que é mínimo quando A, P e B’ estão em linha reta.

A reta de A até B’

inclinac¸a˜o=−20−4050−20=−2\text{inclinação} = \frac{-20 - 40}{50 - 20} = -2 y=40−2(x−20)⇒y=0 em x=40y = 40 - 2(x - 20) \quad\Rightarrow\quad y = 0 \text{ em } x = 40

O ponto em x=40x = 40 é o IV. A distância total fica 302+602≈67\sqrt{30^2 + 60^2} \approx 67 km.

Alternativa D.

D Gabarito: alternativa D

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A

    Fica bem embaixo de A; o caminho até B fica longo. (16,8% marcaram)

  • B

    Não é o ponto em que a reta refletida cruza o eixo. (16,2% marcaram)

  • C

    Foi a mais marcada. Seria o ponto médio entre as projeções das cidades, mas as cidades estão a alturas diferentes. (33,6% marcaram)

  • E

    Fica bem embaixo de B; o caminho até A fica longo. (13,5% marcaram)

Raio-X da questão

Dados oficiais dos microdados do Inep: respostas de 2.353.308 candidatos que fizeram a prova.

Dificuldade pela TRIDifícilParâmetro B: 1.128 pontosFácil abaixo de 600, média de 600 a 700, difícil a partir de 700. É a 1ª mais difícil de 43 questões válidas desta prova. O parâmetro B, na escala de notas do Enem (500 + 100 · b), é a nota em que o candidato passa a ter mais chance de acertar a questão do que de errar, sem contar o chute.
Acertaram19,3%dos candidatos marcaram a D
Habilidade 9 · Competência 2Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Como os candidatos responderam
  • A16,8%
  • B16,2%
  • C33,6% mais marcada
  • D19,3% ✓ gabarito
  • E13,5%

Em branco: 0,4% · Mais de uma marcada: 0,1%

Quanto acertaram, por nota em Matemática
  • abaixo de 50017,1%
  • 500 a 60019,2%
  • 600 a 70021,9%
  • 700 ou mais23,7%

Quando o acerto sobe muito de uma faixa para a outra, a questão separa bem quem domina o conteúdo de quem não domina. Na TRI, isso é o parâmetro de discriminação.

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