Uma empresa de telefonia celular possui duas antenas que serão substituídas por uma nova, mais potente. As áreas de cobertura das antenas que serão substituídas são círculos de raio 2 km, cujas circunferências se tangenciam no ponto O, como mostra a figura. O ponto O indica a posição da nova antena, e sua região de cobertura será um círculo cuja circunferência tangenciará externamente as circunferências das áreas de cobertura menores. Com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura, em quilômetros quadrados, foi ampliada em

Questão 155 do Enem 2015: quanto a área de cobertura aumentou

Enem 2015 · 2º dia · caderno azul · Matemática · Geometria plana

Nos outros cadernos: amarelo 151 · cinza 164 · rosa 162

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A 8π.

Uma empresa de telefonia celular possui duas antenas que serão substituídas por uma nova, mais potente. As áreas de cobertura das antenas que serão substituídas são círculos de raio 2 km, cujas circunferências se tangenciam no ponto O, como mostra a figura.

Dois círculos de raio 2 km tangentes no ponto O, dentro de um círculo maior centrado em O, tangente a eles por fora; a região entre eles está sombreada

O ponto O indica a posição da nova antena, e sua região de cobertura será um círculo cuja circunferência tangenciará externamente as circunferências das áreas de cobertura menores.

Com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura, em quilômetros quadrados, foi ampliada em

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Resolução comentada

O que a questão pede

A área nova menos a área que já era coberta.

Os raios

O círculo novo, centrado em O, encosta por fora nos dois círculos de raio 2. O raio dele vai de O até o outro lado de um círculo pequeno: um diâmetro, 4 km.

As áreas

Nova: $\pi \cdot 4^2 = 16\pi$ .
Antigas: $2 \cdot \pi \cdot 2^2 = 8\pi$ .

16\pi - 8\pi = 8\pi \text{ km}^2

Alternativa A.

A Gabarito: alternativa A

Por que as outras alternativas estão erradas

B
Desconta só um dos círculos pequenos. (21,1% marcaram)
C
Foi a errada mais marcada. É a área total do círculo novo, sem descontar os antigos. (23,7% marcaram)
D
Usa o diâmetro 8 como se fosse o raio na área do círculo grande e desconta os pequenos. (14,7% marcaram)
E
Usa 8 km como raio do círculo novo. (6,9% marcaram)

Raio-X da questão

Dados oficiais dos microdados do Inep: respostas de 5.621.644 candidatos que fizeram a prova.

Dificuldade pela TRIMédiaParâmetro B: 681 pontosFácil abaixo de 600, média de 600 a 700, difícil a partir de 700. É a 30ª mais difícil de 45 questões válidas desta prova. O parâmetro B, na escala de notas do Enem (500 + 100 · b), é a nota em que o candidato passa a ter mais chance de acertar a questão do que de errar, sem contar o chute.

Acertaram33,1%dos candidatos marcaram a A

Habilidade 8 · Competência 2Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.

Como os candidatos responderam

A33,1% ✓ gabarito
B21,1%
C23,7%
D14,7%
E6,9%

Em branco: 0,3% · Mais de uma marcada: 0,1%

Quanto acertaram, por nota em Matemática

abaixo de 50027,4%
500 a 60039,4%
600 a 70048,5%
700 ou mais70%

Quando o acerto sobe muito de uma faixa para a outra, a questão separa bem quem domina o conteúdo de quem não domina. Na TRI, isso é o parâmetro de discriminação.

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