Questão 165 do Enem 2013: quantas joias diferentes o artesão pode fazer

Enem 2013 · 2º dia · caderno azul · Matemática · Probabilidade e contagem

Nos outros cadernos: amarelo 161 · cinza 157 · rosa 171

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B 12

Um artesão de joias tem à sua disposição pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes.

Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato de um losango não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes.

A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas pelas pedras.

Losango com os vértices A (em cima), B (à direita), C (embaixo) e D (à esquerda)

Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter?

Tente antes de ler a resolução: toque numa alternativa.

Resolução comentada

O que a questão pede

Quantas joias diferentes existem com vértices vizinhos de cores diferentes.

Quem é vizinho de quem

A é vizinho de B e de D; C também. A e C são opostos, assim como B e D.

A ideia que muda a conta

A joia é um objeto: virada de lado ou de cabeça para baixo, continua a mesma peça. Num losango não quadrado, dá para trocar A com C (e manter B e D) ou trocar B com D (e manter A e C) sem mudar a joia.

Caso 1: A e C da mesma cor

3 escolhas para a cor de A e C. B e D usam as outras duas cores:

B e D iguais entre si: 2 opções.
B e D diferentes: as duas cores restantes, uma em cada; trocar B com D dá a mesma joia: 1 opção.

3 \cdot (2 + 1) = 9

Caso 2: A e C de cores diferentes

B e D precisam ser diferentes de A e de C: os dois ficam com a terceira cor. Basta escolher o par de cores de A e C, sem ordem (trocar A com C é a mesma joia):

C(3, 2) = 3

Total

9 + 3 = 12

Sem levar em conta que a joia pode ser virada, seriam 18 pinturas (alternativa C).

Alternativa B.

B Gabarito: alternativa B

Por que as outras alternativas estão erradas

A
Conta só as joias em que B e D têm a mesma cor e A e C também. (18,9% marcaram)
C
Conta as 18 pinturas, mas joias que são a mesma peça virada ficam contadas duas vezes. (15,1% marcaram)
D
Foi a errada mais marcada. Faz $3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ , sem perceber que D encosta em A e em C. (20,3% marcaram)
E
Não corresponde à contagem. (10,7% marcaram)

Raio-X da questão

Dados oficiais dos microdados do Inep: respostas de 5.027.077 candidatos que fizeram a prova.

Dificuldade pela TRIDifícilParâmetro B: 2.262 pontosFácil abaixo de 600, média de 600 a 700, difícil a partir de 700. É a 1ª mais difícil de 45 questões válidas desta prova. O parâmetro B, na escala de notas do Enem (500 + 100 · b), é a nota em que o candidato passa a ter mais chance de acertar a questão do que de errar, sem contar o chute.

Acertaram34,4%dos candidatos marcaram a B

Habilidade 2 · Competência 1Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.

Como os candidatos responderam

A18,9%
B34,4% ✓ gabarito
C15,1%
D20,3%
E10,7%

Em branco: 0,4% · Mais de uma marcada: 0,2%

Quanto acertaram, por nota em Matemática

abaixo de 50032,8%
500 a 60037,7%
600 a 70034,2%
700 ou mais30,5%

Quando o acerto sobe muito de uma faixa para a outra, a questão separa bem quem domina o conteúdo de quem não domina. Na TRI, isso é o parâmetro de discriminação.

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