Questão 160 do Enem 2012: o custo do vitral quadrado

Enem 2012 · 2º dia · caderno azul · Matemática · Geometria plana

Nos outros cadernos: amarelo 149 · cinza 152 · rosa 139

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B R$ 35,00

Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir.

Quadrado com A e C nos pontos médios dos lados esquerdo e direito e B e D nos pontos médios de cima e de baixo; P e Q estão no segmento AC, a 1/4 do lado a partir de A e de C; as regiões claras são ABPD e BCDQ

Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m², e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m².

De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral?

Tente antes de ler a resolução: toque numa alternativa.

Resolução comentada

O que a questão pede

O custo total do vitral de 1 m², somando os dois materiais.

A área de uma região clara

A região ABPD é o triângulo ABD sem o triângulo PBD. Os dois têm a mesma base BD (o segmento vertical de 1 m que passa pelo centro):

triângulo ABD: altura = distância de A até BD = $\frac{1}{2}$ m, área $\frac{1 \cdot \frac12}{2} = \frac{1}{4}$ m²;
triângulo PBD: altura = distância de P até BD = $\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ m, área $\frac{1 \cdot \frac14}{2} = \frac{1}{8}$ m².

A_{ABPD} = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8} \text{ m}^2

A região BCDQ é igual, pela simetria.

As duas áreas

A_{\text{clara}} = 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{4} = 0{,}25 \text{ m}^2 \qquad A_{\text{sombreada}} = 1 - 0{,}25 = 0{,}75 \text{ m}^2

O custo

0{,}75 \cdot 30 + 0{,}25 \cdot 50 = 22{,}50 + 12{,}50 = 35{,}00

Alternativa B.

B Gabarito: alternativa B

Por que as outras alternativas estão erradas

A
Calcula só o custo da parte sombreada (0,75 m² × R$ 30). (15% marcaram)
C
Foi a mais marcada. Usa metade da área para cada material. (24,3% marcaram)
D
Troca os preços: R$ 50 na parte sombreada e R$ 30 na clara, ou erra a área clara. (23,1% marcaram)
E
Considera a área clara como 0,75 m². (13,3% marcaram)

Raio-X da questão

Dados oficiais dos microdados do Inep: respostas de 4.093.459 candidatos que fizeram a prova.

Dificuldade pela TRIDifícilParâmetro B: 706 pontosFácil abaixo de 600, média de 600 a 700, difícil a partir de 700. É a 13ª mais difícil de 45 questões válidas desta prova. O parâmetro B, na escala de notas do Enem (500 + 100 · b), é a nota em que o candidato passa a ter mais chance de acertar a questão do que de errar, sem contar o chute.

Acertaram23,7%dos candidatos marcaram a B

Habilidade 8 · Competência 2Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.

Como os candidatos responderam

A15%
B23,7% ✓ gabarito
C24,3% mais marcada
D23,1%
E13,3%

Em branco: 0,5% · Mais de uma marcada: 0,1%

Quanto acertaram, por nota em Matemática

abaixo de 50020,5%
500 a 60019,8%
600 a 70024,7%
700 ou mais60,9%

Quando o acerto sobe muito de uma faixa para a outra, a questão separa bem quem domina o conteúdo de quem não domina. Na TRI, isso é o parâmetro de discriminação.

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