Questão 137 do Enem 2012: o perímetro do losango das circunferências

Enem 2012 · 2º dia · caderno azul · Matemática · Geometria plana

Nos outros cadernos: amarelo 162 · cinza 154 · rosa 165

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E 50%.

O losango representado na Figura 1 foi formado pela união dos centros das quatro circunferências tangentes, de raios de mesma medida.

Figura 1: quatro circunferências iguais, tangentes duas a duas, com um losango ligando os centros

Dobrando-se o raio de duas das circunferências centradas em vértices opostos do losango e ainda mantendo-se a configuração das tangências, obtém-se uma situação conforme ilustrada pela Figura 2.

Figura 2: as circunferências da esquerda e da direita ficaram com o dobro do raio; as de cima e de baixo continuam pequenas

O perímetro do losango da Figura 2, quando comparado ao perímetro do losango da Figura 1, teve um aumento de

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Resolução comentada

O que a questão pede

Quanto o perímetro do losango aumentou, em porcentagem.

O lado do losango na Figura 1

Cada lado liga os centros de duas circunferências tangentes, então mede a soma dos dois raios:

\ell_1 = r + r = 2r \quad\Rightarrow\quad P_1 = 4 \cdot 2r = 8r

O lado do losango na Figura 2

Agora todo lado liga uma circunferência pequena (raio $r$ ) a uma grande (raio $2r$ ):

\ell_2 = r + 2r = 3r \quad\Rightarrow\quad P_2 = 4 \cdot 3r = 12r

O aumento

\frac{12r - 8r}{8r} = \frac{4r}{8r} = 0{,}5 = 50\%

Alternativa E.

E Gabarito: alternativa E

Por que as outras alternativas estão erradas

A
Compara 4r (só o raio grande) com r e esquece que o lado soma dois raios. (6,1% marcaram)
B
Acha que o perímetro triplicou e confunde "triplicar" com "aumentar 200%" sem fazer a conta do lado. (13,6% marcaram)
C
Erra o lado novo, como se fosse 5r em vez de 3r. (18% marcaram)
D
Foi a errada mais marcada. Acha que, como o raio dobrou, o perímetro também dobra. (18,8% marcaram)

Raio-X da questão

Dados oficiais dos microdados do Inep: respostas de 4.093.459 candidatos que fizeram a prova.

Dificuldade pela TRIDifícilParâmetro B: 723 pontosFácil abaixo de 600, média de 600 a 700, difícil a partir de 700. É a 9ª mais difícil de 45 questões válidas desta prova. O parâmetro B, na escala de notas do Enem (500 + 100 · b), é a nota em que o candidato passa a ter mais chance de acertar a questão do que de errar, sem contar o chute.

Acertaram43%dos candidatos marcaram a E

Habilidade 7 · Competência 2Identificar características de figuras planas ou espaciais.

Como os candidatos responderam

A6,1%
B13,6%
C18%
D18,8%
E43% ✓ gabarito

Em branco: 0,4% · Mais de uma marcada: 0,2%

Quanto acertaram, por nota em Matemática

abaixo de 50033,2%
500 a 60048,4%
600 a 70053,7%
700 ou mais65,8%

Quando o acerto sobe muito de uma faixa para a outra, a questão separa bem quem domina o conteúdo de quem não domina. Na TRI, isso é o parâmetro de discriminação.

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