Questão 167 do Enem 2012 PPL: os triângulos isósceles da dobradura

Enem 2012 PPL · 2º dia · caderno cinza · Matemática · Geometria plana

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D CND e DMB.

Um professor, ao fazer uma atividade de origami (dobraduras) com seus alunos, pede para que estes dobrem um pedaço de papel em forma triangular, como na figura a seguir, de modo que M e N sejam pontos médios respectivamente de AB e AC, e D, ponto do lado BC, indica a nova posição do vértice A do triângulo ABC.

Triângulo ABC com N no meio de AC e M no meio de AB; ao dobrar pelo segmento NM, o vértice A cai no ponto D do lado BC

Se ABC é um triângulo qualquer, após a construção, são exemplos de triângulos isósceles os triângulos

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Resolução comentada

O que a questão pede

Quais triângulos são isósceles qualquer que seja o triângulo ABC.

O que a dobra preserva

Dobrar pelo segmento NM leva A em D sem mudar comprimentos:

ND = NA \qquad MD = MA

Os pontos médios

N é ponto médio de AC: $NA = NC$ . M é ponto médio de AB: $MA = MB$ .

Os triângulos isósceles

Triângulo CND: $ND = NA = NC$ → isósceles.
Triângulo DMB: $MD = MA = MB$ → isósceles.

Já o triângulo NDM tem lados $ND = \frac{AC}{2}$ e $MD = \frac{AB}{2}$ , que só são iguais se AB = AC. Num triângulo qualquer, não é isósceles.

Pela conta, a resposta é a alternativa D.

Um alerta sobre o gabarito

O gabarito oficial do caderno cinza dá E para esta questão e D para a questão 168. Só que D é a resposta desta questão e E é a resposta da 168 (a reta decrescente). Tudo indica que os gabaritos das duas foram trocados. Por isso, aqui o gabarito é o da conta, a D: a E é o gabarito do Inep, mas não fecha com o enunciado.

Alternativa D.

D Gabarito: alternativa D

Por que as outras alternativas estão erradas

A
Esses triângulos nem existem na construção com lados iguais garantidos. (12,9% marcaram)
B
Nada garante lados iguais nesses triângulos num triângulo qualquer. (18,6% marcaram)
C
Foi a mais marcada. NAM e NDM são iguais entre si, mas cada um só é isósceles se AB = AC. (33,2% marcaram)
E
É o gabarito oficial do Inep, provavelmente trocado com o da questão 168. NDM tem lados AC/2 e AB/2, que só são iguais se AB = AC. (12,2% marcaram)

Raio-X da questão

Dados oficiais dos microdados do Inep: respostas de 425 candidatos que fizeram a prova.

Esta aplicação teve poucos candidatos, então as porcentagens oscilam mais do que na prova regular.

O Inep deu a E como gabarito, mas a resposta certa é a D (veja o alerta na resolução). Os acertos abaixo contam quem marcou a D; a dificuldade pela TRI e o gráfico por nota foram calculados pelo Inep com a E.

Dificuldade pela TRIMédiaParâmetro B: 669 pontosFácil abaixo de 600, média de 600 a 700, difícil a partir de 700. É a 20ª mais difícil de 45 questões válidas desta prova. O parâmetro B, na escala de notas do Enem (500 + 100 · b), é a nota em que o candidato passa a ter mais chance de acertar a questão do que de errar, sem contar o chute.

Acertaram22,4%dos candidatos marcaram a D

Habilidade 20 · Competência 5Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.

Como os candidatos responderam

A12,9%
B18,6%
C33,2% mais marcada
D22,4% ✓ gabarito
E12,2% gabarito do Inep

Em branco: 0,7% · Mais de uma marcada: 0%

Quanto marcaram a E (gabarito do Inep), por nota em Matemática

abaixo de 50012%
500 a 60015,2%
600 a 7009,7%
700 ou mais0%

Quando o acerto sobe muito de uma faixa para a outra, a questão separa bem quem domina o conteúdo de quem não domina. Na TRI, isso é o parâmetro de discriminação.

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