Espaço da Física · Prof. Flávio

Questão 155 do Enem 2011: a menor distância do barco até a praia

Enem 2011 · 2º dia · caderno azul · Matemática · Trigonometria

Nos outros cadernos: amarelo 158 · cinza 157 · rosa 163

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B 1 00031\,000\sqrt{3} m.

Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação:

Triângulo ABP: o barco vai de A para B na trajetória horizontal; em A o ângulo até P é α e em B é 2α

Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α = 30° e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2 000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será

Tente antes de ler a resolução: toque numa alternativa.

Resolução comentada

O que a questão pede

A menor distância entre a trajetória do barco e P, que é a distância perpendicular.

O triângulo ABP é isósceles

O ângulo de 2α em B é externo ao triângulo ABP. Pelo teorema do ângulo externo:

2α=α+P^⇒P^=α=30°2\alpha = \alpha + \hat{P} \quad\Rightarrow\quad \hat{P} = \alpha = 30°

Os ângulos em A e em P são iguais, então os lados opostos a eles também são:

BP=AB=2 000 mBP = AB = 2\,000 \text{ m}

A menor distância

Do ponto B, a reta BP faz 60° com a trajetória. A distância perpendicular de P até a trajetória é

d=BP⋅sen 60°=2 000⋅32=1 0003 md = BP \cdot \text{sen}\,60° = 2\,000 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1\,000\sqrt{3} \text{ m}

Alternativa B.

B Gabarito: alternativa B

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A

    Usa seno de 30° em vez de 60°. (18,2% marcaram)

  • C

    Usa a tangente de 30° (ou divide por √3). (17,9% marcaram)

  • D

    Foi a errada mais marcada. Responde com BP, a distância de B até P, não a menor distância da trajetória. (21,3% marcaram)

  • E

    Multiplica 2 000 por √3, sem o 1/2 do seno de 60°. (18,9% marcaram)

Raio-X da questão

Dados oficiais dos microdados do Inep: respostas de 3.868.891 candidatos que fizeram a prova.

Dificuldade pela TRIDifícilParâmetro B: 790 pontosFácil abaixo de 600, média de 600 a 700, difícil a partir de 700. É a 2ª mais difícil de 45 questões válidas desta prova. O parâmetro B, na escala de notas do Enem (500 + 100 · b), é a nota em que o candidato passa a ter mais chance de acertar a questão do que de errar, sem contar o chute.
Acertaram23,1%dos candidatos marcaram a B
Habilidade 8 · Competência 2Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
Como os candidatos responderam
  • A18,2%
  • B23,1% ✓ gabarito
  • C17,9%
  • D21,3%
  • E18,9%

Em branco: 0,4% · Mais de uma marcada: 0,2%

Quanto acertaram, por nota em Matemática
  • abaixo de 50021,3%
  • 500 a 60021,9%
  • 600 a 70023,9%
  • 700 ou mais36,4%

Quando o acerto sobe muito de uma faixa para a outra, a questão separa bem quem domina o conteúdo de quem não domina. Na TRI, isso é o parâmetro de discriminação.

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