Questão 150 do Enem 2011: a estação do metrô perto do hospital

Enem 2011 · 2º dia · caderno azul · Matemática · Geometria analítica

Nos outros cadernos: amarelo 152 · cinza 149 · rosa 154

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B (–3, 1).

Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros.

Plano cartesiano de −8 a 8 nos dois eixos, com a reta tracejada y = x + 4 passando por (−4, 0) e (0, 4)

A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P = (−5, 5), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km.

Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto

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Resolução comentada

O que a questão pede

Um ponto que esteja na linha do metrô e a no máximo 5 km de P(−5, 5).

Está na reta?

Basta testar $y = x + 4$ :

Ponto	$x + 4$	Na reta?
(−5, 0)	−1	não
(−3, 1)	1	sim
(−2, 1)	2	não
(0, 4)	4	sim
(2, 6)	6	sim

A distância até P

(−3, 1): $\sqrt{(-3 + 5)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \approx 4{,}5$ km.
(0, 4): $\sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \approx 5{,}1$ km.
(2, 6): $\sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} \approx 7{,}1$ km.

Só (−3, 1) está na reta e a menos de 5 km.

Alternativa B.

B Gabarito: alternativa B

Por que as outras alternativas estão erradas

A
Fica a 5 km do hospital, mas não está na reta do metrô (−5 + 4 = −1, não 0). (24,5% marcaram)
C
Não está na reta: −2 + 4 = 2, não 1. (16,8% marcaram)
D
Foi a mais marcada. Está na reta, mas fica a √26 ≈ 5,1 km do hospital. (25,6% marcaram)
E
Está na reta, mas fica a √50 ≈ 7,1 km. (12,2% marcaram)

Raio-X da questão

Dados oficiais dos microdados do Inep: respostas de 3.868.891 candidatos que fizeram a prova.

Dificuldade pela TRIDifícilParâmetro B: 709 pontosFácil abaixo de 600, média de 600 a 700, difícil a partir de 700. É a 13ª mais difícil de 45 questões válidas desta prova. O parâmetro B, na escala de notas do Enem (500 + 100 · b), é a nota em que o candidato passa a ter mais chance de acertar a questão do que de errar, sem contar o chute.

Acertaram20,3%dos candidatos marcaram a B

Habilidade 22 · Competência 5Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.

Como os candidatos responderam

A24,5%
B20,3% ✓ gabarito
C16,8%
D25,6% mais marcada
E12,2%

Em branco: 0,4% · Mais de uma marcada: 0,2%

Quanto acertaram, por nota em Matemática

abaixo de 50016,3%
500 a 60017,4%
600 a 70023,6%
700 ou mais48,8%

Quando o acerto sobe muito de uma faixa para a outra, a questão separa bem quem domina o conteúdo de quem não domina. Na TRI, isso é o parâmetro de discriminação.

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