Espaço da Física · Prof. Flávio

Questão 143 do Enem 2011 PPL: a reta da boca depois de esticar a imagem

Enem 2011 PPL · 2º dia · caderno cinza · Matemática · Geometria analítica

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A x + ny = 3n.

Um programador visual deseja modificar uma imagem, aumentando seu comprimento e mantendo sua largura. As figuras 1 e 2 representam, respectivamente, a imagem original e a transformada pela duplicação do comprimento.

Duas carinhas desenhadas em malha quadriculada. Na Figura 1, a reta tracejada r₁ passa por A₁(1, 2) e B₁(2, 1), no canto inferior esquerdo da boca. Na Figura 2, a imagem tem o dobro da largura e a reta r₂ passa por A₂(2, 2) e B₂(4, 1)

Para modelar todas as possibilidades de transformação no comprimento dessa imagem, o programador precisa descobrir os padrões de todas as retas que contêm os segmentos que contornam os olhos, o nariz e a boca e, em seguida, elaborar o programa.

No exemplo anterior, o segmento A₁B₁ da figura 1, contido na reta r₁, transformou-se no segmento A₂B₂ da figura 2, contido na reta r₂.

Suponha que, mantendo constante a largura da imagem, seu comprimento seja multiplicado por n, sendo n um número inteiro e positivo, e que, dessa forma, a reta r₁ sofra as mesmas transformações. Nessas condições, o segmento AₙBₙ estará contido na reta rₙ.

A equação algébrica que descreve rn, no plano cartesiano, é

Tente antes de ler a resolução: toque numa alternativa.

Resolução comentada

O que a questão pede

A equação da reta rnr_n depois de multiplicar o comprimento (eixo xx) por nn.

A reta original

r1r_1 passa por A1(1,2)A_1(1, 2) e B1(2,1)B_1(2, 1):

x+y=3x + y = 3

O efeito de esticar

Multiplicar o comprimento por nn leva cada ponto (x,y)(x, y) para (nx,y)(nx, y). Um ponto (X,Y)(X, Y) da nova reta veio de (Xn,Y)\left(\frac{X}{n}, Y\right), que estava em r1r_1:

Xn+Y=3⇒X+nY=3n\frac{X}{n} + Y = 3 \quad\Rightarrow\quad X + nY = 3n

Conferindo com n = 2

x+2y=6x + 2y = 6 passa por A2(2,2)A_2(2, 2) e B2(4,1)B_2(4, 1), como na Figura 2.

Alternativa A.

A Gabarito: alternativa A

Por que as outras alternativas estão erradas

  • B

    Troca o sinal e o termo independente.

  • C

    Acerta o termo independente, mas troca o sinal de y: a reta subiria em vez de descer.

  • D

    Multiplica tudo por n, o que dá a mesma reta x + y = 3 de antes.

  • E

    Também é a mesma reta x + 2y = 6 para qualquer n; não depende do esticamento.

Raio-X da questão

Dados oficiais do Inep. Os microdados desta aplicação não trazem as respostas dos candidatos, então aparecem só a dificuldade pela TRI e a habilidade avaliada.

Dificuldade pela TRIDifícilParâmetro B: 840 pontosFácil abaixo de 600, média de 600 a 700, difícil a partir de 700. É a 1ª mais difícil de 39 questões válidas desta prova. O parâmetro B, na escala de notas do Enem (500 + 100 · b), é a nota em que o candidato passa a ter mais chance de acertar a questão do que de errar, sem contar o chute.
Habilidade 19 · Competência 5Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
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