Espaço da Física · Prof. Flávio

Questão 173 do Enem 2010: o tempo para examinar todos os trajetos

Enem 2010 · 2º dia · caderno azul · Matemática · Probabilidade e contagem

Nos outros cadernos: rosa 174 · amarelo 174 · cinza 173

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B 90 min.

João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto possível pode ser representado por uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto ABCDEFA, informa que ele sairá da cidade A, visitando as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, voltando para a cidade A. Além disso, o número indicado entre as letras informa o custo do deslocamento entre as cidades. A figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma das cidades.

Seis cidades, A a F, todas ligadas entre si, com o custo escrito em cada ligação

Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o trajeto de menor custo para visitar os cinco clientes. Examinando a figura, percebe que precisa considerar somente parte das sequências, pois os trajetos ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta 1min30s para examinar uma sequência e descartar sua simétrica, conforme apresentado.

O tempo mínimo necessário para João verificar todas as sequências possíveis no problema é de

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Resolução comentada

O que a questão pede

O tempo total para examinar todos os trajetos diferentes.

Quantos trajetos

A começa e termina em A. As cidades B, C, D, E e F podem ser visitadas em qualquer ordem:

5!=120 sequeˆncias5! = 120 \text{ sequências}

Cada uma tem a sua simétrica (a mesma, ao contrário) com o mesmo custo, e as duas são examinadas juntas:

1202=60 exames\frac{120}{2} = 60 \text{ exames}

O tempo

60⋅1,5 min=90 min60 \cdot 1{,}5 \text{ min} = 90 \text{ min}

Os custos da figura não são necessários para responder.

Alternativa B.

B Gabarito: alternativa B

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A

    Conta os 60 pares, mas esquece de multiplicar por 1,5 minuto. (18,7% marcaram)

  • C

    Foi a errada mais marcada. Conta as 120 sequências a 1 minuto cada. (23,4% marcaram)

  • D

    Examina as 120 sequências sem descartar as simétricas. (19,1% marcaram)

  • E

    Usa 6! = 720 ordens, incluindo a cidade A, que é fixa. (10,2% marcaram)

Raio-X da questão

Dados oficiais dos microdados do Inep: respostas de 3.247.403 candidatos que fizeram a prova.

Dificuldade pela TRIDifícilParâmetro B: 822 pontosFácil abaixo de 600, média de 600 a 700, difícil a partir de 700. É a 4ª mais difícil de 42 questões válidas desta prova. O parâmetro B, na escala de notas do Enem (500 + 100 · b), é a nota em que o candidato passa a ter mais chance de acertar a questão do que de errar, sem contar o chute.
Acertaram28%dos candidatos marcaram a B
Habilidade 4 · Competência 1Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
Como os candidatos responderam
  • A18,7%
  • B28% ✓ gabarito
  • C23,4%
  • D19,1%
  • E10,2%

Em branco: 0,5% · Mais de uma marcada: 0,2%

Quanto acertaram, por nota em Matemática
  • abaixo de 50027,1%
  • 500 a 60029,6%
  • 600 a 70028%
  • 700 ou mais28,3%

Quando o acerto sobe muito de uma faixa para a outra, a questão separa bem quem domina o conteúdo de quem não domina. Na TRI, isso é o parâmetro de discriminação.

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