Questão 164 do Enem 2010: o raio da perfuração da peça triangular

Enem 2010 · 2º dia · caderno azul · Matemática · Geometria plana

Nos outros cadernos: rosa 165 · amarelo 164 · cinza 163

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B 2 cm.

Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suas faces laterais, conforme mostra a figura.

Prisma de base triangular com lados 6 cm, 8 cm e 10 cm, atravessado por um cilindro que toca as três faces laterais

O raio da perfuração da peça é igual a

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Resolução comentada

O que a questão pede

O raio do círculo que toca os três lados do triângulo da base (círculo inscrito).

O triângulo

$6^2 + 8^2 = 100 = 10^2$ : é retângulo, com catetos 6 e 8.

A = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24 \text{ cm}^2 \qquad p = \frac{6 + 8 + 10}{2} = 12 \text{ cm}

O raio inscrito

r = \frac{A}{p} = \frac{24}{12} = 2 \text{ cm}

No triângulo retângulo também vale $r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = 2$ .

Alternativa B.

B Gabarito: alternativa B

Por que as outras alternativas estão erradas

A
Divide a área pelo perímetro inteiro, não pelo semiperímetro. (7,5% marcaram)
C
Usa metade do menor lado. (24,8% marcaram)
D
Foi a errada mais marcada. Usa metade do cateto de 8 cm. (25% marcaram)
E
Usa metade da hipotenusa: é o raio do círculo circunscrito, não do inscrito. (16,7% marcaram)

Raio-X da questão

Dados oficiais dos microdados do Inep: respostas de 3.247.403 candidatos que fizeram a prova.

Dificuldade pela TRIDifícilParâmetro B: 753 pontosFácil abaixo de 600, média de 600 a 700, difícil a partir de 700. É a 11ª mais difícil de 42 questões válidas desta prova. O parâmetro B, na escala de notas do Enem (500 + 100 · b), é a nota em que o candidato passa a ter mais chance de acertar a questão do que de errar, sem contar o chute.

Acertaram25,4%dos candidatos marcaram a B

Habilidade 9 · Competência 2Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.

Como os candidatos responderam

A7,5%
B25,4% ✓ gabarito
C24,8%
D25%
E16,7%

Em branco: 0,5% · Mais de uma marcada: 0,2%

Quanto acertaram, por nota em Matemática

abaixo de 50022,5%
500 a 60024%
600 a 70029,6%
700 ou mais49,2%

Quando o acerto sobe muito de uma faixa para a outra, a questão separa bem quem domina o conteúdo de quem não domina. Na TRI, isso é o parâmetro de discriminação.

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