Questão 172 do Enem 2010 PPL: o raio do tubo que guarda quatro tubos menores

Enem 2010 PPL · 2º dia · caderno azul · Matemática · Geometria plana

Nos outros cadernos: amarelo 172 · cinza 172 · rosa 172

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D $6(1 + \sqrt{2})$ cm.

Uma fábrica de tubos acondiciona tubos cilíndricos menores dentro de outros tubos cilíndricos. A figura mostra uma situação em que quatro tubos cilíndricos estão acondicionados perfeitamente em um tubo com raio maior.

Círculo grande contendo quatro círculos iguais, em duas fileiras de dois, cada um tocando dois vizinhos e o círculo grande

Suponha que você seja o operador da máquina que produzirá os tubos maiores em que serão colocados, sem ajustes ou folgas, quatro tubos cilíndricos internos.

Se o raio da base de cada um dos cilindros menores for igual a 6 cm, a máquina por você operada deverá ser ajustada para produzir tubos maiores, com raio da base igual a

Tente antes de ler a resolução: toque numa alternativa.

Resolução comentada

O que a questão pede

O raio do tubo grande que encosta nos quatro tubos de raio 6 cm.

Os centros dos tubos pequenos

Tubos vizinhos se tocam, então seus centros ficam a $6 + 6 = 12$ cm: formam um quadrado de lado 12. O centro do tubo grande é o centro desse quadrado.

Do centro até a borda

Distância do centro do quadrado a um vértice (metade da diagonal):

\frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}

Somando o raio do tubo pequeno, chega-se à borda do tubo grande:

R = 6\sqrt{2} + 6 = 6(1 + \sqrt{2}) \text{ cm}

Alternativa D.

D Gabarito: alternativa D

Por que as outras alternativas estão erradas

A
Soma dois raios, como se os tubos ficassem em fila.
B
Usa a diagonal do quadrado dos centros, sem somar o raio do tubo pequeno.
C
Dobra a diagonal.
E
Usa o diâmetro onde deveria usar o raio.

Raio-X da questão

Dados oficiais do Inep. Os microdados desta aplicação não trazem as respostas dos candidatos, então aparecem só a dificuldade pela TRI e a habilidade avaliada.

Dificuldade pela TRIDifícilParâmetro B: 741 pontosFácil abaixo de 600, média de 600 a 700, difícil a partir de 700. É a 5ª mais difícil de 38 questões válidas desta prova. O parâmetro B, na escala de notas do Enem (500 + 100 · b), é a nota em que o candidato passa a ter mais chance de acertar a questão do que de errar, sem contar o chute.

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