Questão 164 do Enem 2009: a parte de João no terreno com ouro

Enem 2009 · 2º dia · caderno azul · Matemática · Geometria plana

Nos outros cadernos: amarelo 164 · cinza 164 · rosa 164

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E 19%.

Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3 km x 2 km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.

Terreno de 3 km por 2 km com um quarto de círculo de raio 1 km no canto inferior esquerdo, dividido por duas retas a partir do canto entre João, Pedro e José

Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, aproximadamente, a (considere $\frac{\sqrt{3}}{3} = 0{,}58$)

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Resolução comentada

O que a questão pede

A porcentagem do terreno que ficou com João.

Os ângulos

O quarto de círculo tem 90°. Dividido em três partes iguais, cada uma tem 30°. A parte de João fica junto ao lado esquerdo, entre a vertical e a reta que faz 60° com a base.

A parte de João

A reta sai do canto e sobe até o lado de cima, a 2 km de altura:

x = \frac{2}{\operatorname{tg} 60^\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 1{,}16 \text{ km}

A parte de João é um triângulo retângulo de catetos 2 e 1,16:

A = \frac{2 \cdot 1{,}16}{2} = 1{,}16 \text{ km}^2

A porcentagem

\frac{1{,}16}{3 \cdot 2} = \frac{1{,}16}{6} \approx 0{,}19 = 19\%

Alternativa E.

E Gabarito: alternativa E

Por que as outras alternativas estão erradas

A
Metade do terreno não corresponde a nenhuma das partes. (10,1% marcaram)
B
É a parte de José: o triângulo de base 3 e altura $3 \cdot \operatorname{tg} 30^\circ \approx 1{,}73$ , com cerca de 2,6 km². (14,7% marcaram)
C
É a parte de Pedro, o que sobra: $6 - 1{,}16 - 2{,}6 \approx 2{,}24$ km². (19,1% marcaram)
D
Foi a mais marcada. A terça parte vale para a área do ouro, não para o terreno. (29,1% marcaram)

Raio-X da questão

Dados oficiais dos microdados do Inep: respostas de 2.435.588 candidatos que fizeram a prova.

Dificuldade pela TRIMédiaParâmetro B: 673 pontosFácil abaixo de 600, média de 600 a 700, difícil a partir de 700. É a 34ª mais difícil de 43 questões válidas desta prova. O parâmetro B, na escala de notas do Enem (500 + 100 · b), é a nota em que o candidato passa a ter mais chance de acertar a questão do que de errar, sem contar o chute.

Acertaram26,3%dos candidatos marcaram a E

Habilidade 8 · Competência 2Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.

Como os candidatos responderam

A10,1%
B14,7%
C19,1%
D29,1% mais marcada
E26,3% ✓ gabarito

Em branco: 0,4% · Mais de uma marcada: 0,2%

Quanto acertaram, por nota em Matemática

abaixo de 50017,1%
500 a 60029,8%
600 a 70048,4%
700 ou mais71,2%

Quando o acerto sobe muito de uma faixa para a outra, a questão separa bem quem domina o conteúdo de quem não domina. Na TRI, isso é o parâmetro de discriminação.

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