Questão 142 do Enem 2021: quantos dardos para pontuar com 90% de chance

Enem 2021 · 2º dia · caderno azul · Matemática · Probabilidade e contagem

Nos outros cadernos: amarelo 177 · rosa 143 · cinza 161

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B 4.

O organizador de uma competição de lançamento de dardos pretende tornar o campeonato mais competitivo. Pelas regras atuais da competição, numa rodada, o jogador lança 3 dardos e pontua caso acerte pelo menos um deles no alvo. O organizador considera que, em média, os jogadores têm, em cada lançamento, $\dfrac{1}{2}$ de probabilidade de acertar um dardo no alvo.

A fim de tornar o jogo mais atrativo, planeja modificar as regras de modo que a probabilidade de um jogador pontuar em uma rodada seja igual ou superior a $\dfrac{9}{10}$ . Para isso, decide aumentar a quantidade de dardos a serem lançados em cada rodada.

Com base nos valores considerados pelo organizador da competição, a quantidade mínima de dardos que devem ser disponibilizados em uma rodada para tornar o jogo mais atrativo é

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Resolução comentada

O que a questão pede

O menor número de dardos para a chance de acertar pelo menos um chegar a 90%.

O contrário

Pontuar falha só quando todos erram:

P(\text{pontuar}) = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n \ge \frac{9}{10} \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{1}{2}\right)^n \le \frac{1}{10}

Testando

Dardos	Chance de errar todos	Chance de pontuar
3	1/8 = 12,5%	87,5%
4	1/16 ≈ 6,3%	93,75%

Com 3 dardos falta pouco; com 4 já passa de 90%.

Alternativa B.

B Gabarito: alternativa B

Por que as outras alternativas estão erradas

A
Com 2 dardos, a chance é só 75%. (10,4% marcaram)
C
Foi a mais marcada. Funciona, mas não é o mínimo. (35,3% marcaram)
D
Usa o 9 da fração 9/10 como número de dardos. (20,8% marcaram)
E
Usa o 10 da fração como número de dardos. (15% marcaram)

Raio-X da questão

Dados oficiais dos microdados do Inep: respostas de 2.179.139 candidatos que fizeram a prova.

Dificuldade pela TRIDifícilParâmetro B: 788 pontosFácil abaixo de 600, média de 600 a 700, difícil a partir de 700. É a 3ª mais difícil de 44 questões válidas desta prova. O parâmetro B, na escala de notas do Enem (500 + 100 · b), é a nota em que o candidato passa a ter mais chance de acertar a questão do que de errar, sem contar o chute.

Acertaram18,2%dos candidatos marcaram a B

Habilidade 30 · Competência 7Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.

Como os candidatos responderam

A10,4%
B18,2% ✓ gabarito
C35,3% mais marcada
D20,8%
E15%

Em branco: 0,3% · Mais de uma marcada: 0,1%

Quanto acertaram, por nota em Matemática

abaixo de 50019,5%
500 a 60017,1%
600 a 70014,8%
700 ou mais22,3%

Quando o acerto sobe muito de uma faixa para a outra, a questão separa bem quem domina o conteúdo de quem não domina. Na TRI, isso é o parâmetro de discriminação.

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