Espaço da Física · Prof. Flávio

Questão 177 do Enem 2019: o menor β para o pistão ter boa potência

Enem 2019 · 2º dia · caderno azul · Matemática · Trigonometria

Nos outros cadernos: amarelo 180 · rosa 140 · cinza 172

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D 5.

Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão dentro da câmara de combustão está representado na figura.

Pistão na câmara de combustão em dois instantes: em t = 0, na posição mais baixa, h(0) = 0; em outro instante, mais alto, a uma altura h(t)

A função h(t)=4+4 sen(βt2−π2)h(t) = 4 + 4\,\text{sen}\left(\dfrac{\beta t}{2} - \dfrac{\pi}{2}\right) definida para t ≥ 0 descreve como varia a altura h, medida em centímetro, da parte superior do pistão dentro da câmara de combustão, em função do tempo t, medido em segundo. Nas figuras estão indicadas as alturas do pistão em dois instantes distintos.

O valor do parâmetro β, que é dado por um número inteiro positivo, está relacionado com a velocidade de deslocamento do pistão. Para que o motor tenha uma boa potência, é necessário e suficiente que, em menos de 4 segundos após o início do funcionamento (instante t = 0), a altura da base do pistão alcance por três vezes o valor de 6 cm. Para os cálculos, utilize 3 como aproximação para π.

O menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro β, de forma que o motor a ser construído tenha boa potência, é

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Resolução comentada

O que a questão pede

O menor β inteiro para h(t) = 6 acontecer três vezes antes de t = 4.

Quando h = 6

4+4 sen u=6⇒sen u=12,u=βt2−π24 + 4\,\text{sen}\,u = 6 \quad\Rightarrow\quad \text{sen}\,u = \frac{1}{2}, \qquad u = \frac{\beta t}{2} - \frac{\pi}{2}

Em t = 0, u=−π2u = -\frac{\pi}{2} (pistão no ponto mais baixo). A partir daí, sen u = 1/2 acontece em

u=π6, 5π6, 13π6, …u = \frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{13\pi}{6},\ \dots

A terceira vez

βt2−π2=13π6⇒βt2=16π6⇒t=16π3β=16β (π=3)\frac{\beta t}{2} - \frac{\pi}{2} = \frac{13\pi}{6} \quad\Rightarrow\quad \frac{\beta t}{2} = \frac{16\pi}{6} \quad\Rightarrow\quad t = \frac{16\pi}{3\beta} = \frac{16}{\beta} \ (\pi = 3)

A condição

16β<4⇒β>4⇒β=5\frac{16}{\beta} < 4 \quad\Rightarrow\quad \beta > 4 \quad\Rightarrow\quad \beta = 5

Alternativa D.

D Gabarito: alternativa D

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A

    Com β = 1, a terceira passagem por 6 cm só acontece em t = 16 s. (11,8% marcaram)

  • B

    Com β = 2, a terceira passagem é em t = 8 s. (22,9% marcaram)

  • C

    Foi a mais marcada. Com β = 4, a terceira passagem é em t = 4 s, e o enunciado pede menos de 4. (30,3% marcaram)

  • E

    Funciona, mas não é o menor inteiro. (14% marcaram)

Raio-X da questão

Dados oficiais dos microdados do Inep: respostas de 3.709.830 candidatos que fizeram a prova.

Dificuldade pela TRIMédiaParâmetro B: 663 pontosFácil abaixo de 600, média de 600 a 700, difícil a partir de 700. É a 29ª mais difícil de 44 questões válidas desta prova. O parâmetro B, na escala de notas do Enem (500 + 100 · b), é a nota em que o candidato passa a ter mais chance de acertar a questão do que de errar, sem contar o chute.
Acertaram20,5%dos candidatos marcaram a D
Habilidade 21 · Competência 5Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Como os candidatos responderam
  • A11,8%
  • B22,9%
  • C30,3% mais marcada
  • D20,5% ✓ gabarito
  • E14%

Em branco: 0,4% · Mais de uma marcada: 0,1%

Quanto acertaram, por nota em Matemática
  • abaixo de 50018,5%
  • 500 a 60022%
  • 600 a 70023,6%
  • 700 ou mais21,6%

Quando o acerto sobe muito de uma faixa para a outra, a questão separa bem quem domina o conteúdo de quem não domina. Na TRI, isso é o parâmetro de discriminação.

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