Questão 152 do Enem 2021: o valor recebido pelo navio receptor

Enem 2021 · 2º dia · caderno azul · Matemática · Aritmética e álgebra

Nos outros cadernos: amarelo 162 · rosa 163 · cinza 177

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E $\dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações triângulo ∆ e estrela ∗, definidas sobre o conjunto dos números reais por $x \Delta y = x^2 + xy - y^2$ e $x * y = xy + x$ .

O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada b, que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma das duas maiores soluções da equação $(a \Delta b) * (b \Delta a) = 0$ . Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.

Um navio deseja enviar ao outro a mensagem “ATENÇÃO!”. Para isso, deve utilizar o valor de entrada b = 1.

Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será

Tente antes de ler a resolução: toque numa alternativa.

Resolução comentada

O que a questão pede

As soluções de $(a \Delta 1) * (1 \Delta a) = 0$ e a soma das duas maiores.

A estrela

x * y = xy + x = x(y + 1)

O produto zera quando $x = 0$ ou $y = -1$ .

As duas partes

a \Delta 1 = a^2 + a - 1 \qquad 1 \Delta a = 1 + a - a^2

Caso 1: $a^2 + a - 1 = 0 \Rightarrow a = \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ (≈ 0,62 e ≈ −1,62).

Caso 2: $1 + a - a^2 = -1 \Rightarrow a^2 - a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2$ ou $a = -1$ .

As duas maiores

Em ordem: 2, ≈ 0,62, −1, ≈ −1,62.

2 + \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}

Alternativa E.

E Gabarito: alternativa E

Por que as outras alternativas estão erradas

A
Não corresponde à soma das duas maiores soluções. (12,4% marcaram)
B
Não corresponde à soma das duas maiores soluções. (18,5% marcaram)
C
Soma 2 com −1, esquecendo que (−1 + √5)/2 é maior que −1. (16,8% marcaram)
D
Foi a mais marcada. É só uma das soluções, não a soma das duas maiores. (29,6% marcaram)

Raio-X da questão

Dados oficiais dos microdados do Inep: respostas de 2.179.139 candidatos que fizeram a prova.

Dificuldade pela TRIDifícilParâmetro B: 997 pontosFácil abaixo de 600, média de 600 a 700, difícil a partir de 700. É a 1ª mais difícil de 44 questões válidas desta prova. O parâmetro B, na escala de notas do Enem (500 + 100 · b), é a nota em que o candidato passa a ter mais chance de acertar a questão do que de errar, sem contar o chute.

Acertaram22,2%dos candidatos marcaram a E

Habilidade 21 · Competência 5Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.

Como os candidatos responderam

A12,4%
B18,5%
C16,8%
D29,6% mais marcada
E22,2% ✓ gabarito

Em branco: 0,5% · Mais de uma marcada: 0,1%

Quanto acertaram, por nota em Matemática

abaixo de 50018,5%
500 a 60024,1%
600 a 70025,8%
700 ou mais27,8%

Quando o acerto sobe muito de uma faixa para a outra, a questão separa bem quem domina o conteúdo de quem não domina. Na TRI, isso é o parâmetro de discriminação.

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