Questão 136 do Enem 2021: a potência φ⁷ na forma aφ + b

Enem 2021 · 2º dia · caderno azul · Matemática · Aritmética e álgebra

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E 13φ + 8

Um segmento de reta está dividido em duas partes na proporção áurea quando o todo está para uma das partes na mesma razão em que essa parte está para a outra. Essa constante de proporcionalidade é comumente representada pela letra grega φ, e seu valor é dado pela solução positiva da equação φ² = φ + 1.

Assim como a potência φ², as potências superiores de φ podem ser expressas da forma aφ + b, em que a e b são inteiros positivos, como apresentado no quadro.

φ²	φ³	φ⁴	φ⁵	φ⁶	φ⁷
φ + 1	2φ + 1	3φ + 2	5φ + 3	8φ + 5	…

A potência φ⁷, escrita na forma aφ + b (a e b são inteiros positivos), é

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Resolução comentada

O que a questão pede

Escrever φ⁷ como aφ + b.

Multiplicando por φ

\varphi^7 = \varphi \cdot \varphi^6 = \varphi(8\varphi + 5) = 8\varphi^2 + 5\varphi

Trocando φ² por φ + 1:

8(\varphi + 1) + 5\varphi = 13\varphi + 8

O padrão

Os coeficientes são a sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…): cada número é a soma dos dois anteriores. Depois de 8φ + 5 vem (8 + 5)φ + 8.

Alternativa E.

E Gabarito: alternativa E

Por que as outras alternativas estão erradas

A
É o φ⁵, que já está no quadro. (10,3% marcaram)
B
Não segue o padrão dos coeficientes. (13,7% marcaram)
C
Não segue o padrão dos coeficientes. (20,2% marcaram)
D
Foi a errada mais marcada. Soma 3 e 2 aos coeficientes de φ⁶, em vez de seguir o padrão. (25,4% marcaram)

Raio-X da questão

Dados oficiais dos microdados do Inep: respostas de 2.179.139 candidatos que fizeram a prova.

Dificuldade pela TRIMédiaParâmetro B: 674 pontosFácil abaixo de 600, média de 600 a 700, difícil a partir de 700. É a 23ª mais difícil de 44 questões válidas desta prova. O parâmetro B, na escala de notas do Enem (500 + 100 · b), é a nota em que o candidato passa a ter mais chance de acertar a questão do que de errar, sem contar o chute.

Acertaram30%dos candidatos marcaram a E

Habilidade 2 · Competência 1Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.

Como os candidatos responderam

A10,3%
B13,7%
C20,2%
D25,4%
E30% ✓ gabarito

Em branco: 0,3% · Mais de uma marcada: 0,1%

Quanto acertaram, por nota em Matemática

abaixo de 50017,7%
500 a 60030,1%
600 a 70042,6%
700 ou mais63,3%

Quando o acerto sobe muito de uma faixa para a outra, a questão separa bem quem domina o conteúdo de quem não domina. Na TRI, isso é o parâmetro de discriminação.

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